- Фильтр (математика)
-
Фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.
Содержание
Определение в рамках теории решёток
Подмножество решётки называется фильтром, если
- для всех ,
- для всех и таких, что ,
Фильтр называется собственным, если .
Собственный фильтр такой, что не существует собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.
Фильтр называется простым, если в нём для всех из того, что , следует, что либо , либо .
Минимальный фильтр, содержащий данный элемент , называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом .
Если фильтр, то является идеалом.
Фильтры на множествах
Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества можно определить решётку его подмножеств . Тогда фильтр на определяется как подмножество , удовлетворяющее следующим условиям:
- пересечение любых двух элементов лежит в
- надмножество любого элемента лежит в
Фильтр вида называется фильтром, порожденным множеством . Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.
База фильтра
Пусть - фильтр на множестве . Семейство подмножеств называется базой (базисом) фильтра , если любой элемент фильтра содержит некоторый элемент базы , т.е. для любого существует такое, что . При этом фильтр совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из . В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база порождает фильтр
Для того, чтобы семейство подмножеств множества являлось базой некоторого фильтра на необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы)
- для любых существует такое, что
Две базы и называются эквивалентными, если любой элемент содержит в себе некоторый элемент , и наоборот, любой элемент содержит в себе некоторый элемент
Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр . Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однознаное соответствие.
Сравнение фильтров
Пусть на множестве заданы два фильтра и . Говорят, что фильтр мажорирует фильтр ( сильнее , тоньше ), если . В этом случае также говорят, что фильтр мажорируется фильтром ( слабее , грубее ).
Говорят, что база сильнее базы , и записывают , если любой элемент содержит в себе некоторый элемент . База сильнее базы тогда и только тогда, когда фильтр , порожденный базой , сильнее фильтра , порожденного базой .
Базы и эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно и .
Фильтры в топологических пространствах
Пусть -- топологическое пространство и -- фильтр на множестве . Точка называется пределом фильтра , если любая окрестность точки принадлежит фильтру . Обозначение: . Для фильтра , порожденного базой , равенство выполняется тогда и только тогда, когда для любая окрестность целиком содержит некоторое множество из .
В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела.
Точка называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра , если принадлежит замыканию любого множества из , т.е. для всех . Равносильно, для любой окрестности точки и для любого выполнено . Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.
В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.
Примеры
- Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
- Если — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.
- Если — бесконечное множество мощности , то множество дополнений множеств мощности тоже является фильтром.
См. также
Категории:- Теория порядка
- Теория решёток
Wikimedia Foundation. 2010.